导语如何将一个国家的经济状况，用一个指标来衡量，是经济学的核心问题。7月3日 Nature Communications 的“调和不同的审视经济复杂性的视角”一文，通过二分网络，提出了计算经济复杂性的新方法，该方法能反映出一国出口产品的多样性，同时具有了可解释性。
论文题目：
Reconciling contrasting views on economic complexity
论文地址：
https://www.nature.com/articles/s41467-020-16992-1
1. 何为经济复杂性
2. 经济问题背后的数学原理
3. 如何用二分网络刻画经济复杂性
4. 各国的经济复杂性情况
5. 如何用经济复杂性指数解释经济现象
6. 国际经济重心向东方移动的趋势
传统上，评价一国经济水平的指标，是国内生产总值。然而，肯尼迪在 1968 年有一句关于 GDP 的名言：“GDP包含一切，却将人生价值排除在外”。这表明只用 GDP 来衡量经济水平，无法反映出更为复杂的经济状况。
而 César Hidalgo 等人2007年的 Science 论文“各国的产品空间决定了该国的经济发展”，提出了“经济复杂性”（Economic complexity），这一评价指标。该指标通过一国的出口产品的组合情况，来衡量该国的经济活动站在“食物链”的那一层，通过和他国的对比，描述该国的经济社会总体状况。图1：每个国家的出口产品组合，决定了其经济复杂性。扫码阅读“经济复杂性指数”百科
在该文中，用网络来描述各国进出口的商品，将商品之间相互依存关系构成的网称为产品空间（The product space）。通过判断哪些产品位于网络的中心位置，区别了哪些是生产很多原材料的国家，以及只生产一两种高端工业产品的国家。举一个例子，蒙古能出口很多种牛羊制品，而荷兰只能出口光刻机，但由于光刻机位于产品空间的中心，因此荷兰的经济复杂性高于蒙古。通过经济复杂性这一指标，能够解释为何有些国家能够出现经济高速增长，还能用来预测国家未来的经济走向。论文题目：The Product Space Conditions the Development of Nations论文地址：https://science.sciencemag.org/content/317/5837/482.full
图2：产品空间示意图，图中初级产品，如石油，咖啡位于网络边缘，而汽车电子产品则位于网络中心
前文的方法，仅仅是通过多样性或者产品种类来评价一国的经济复杂性。然而这样的描述是否准确了，要进行判断，需要将该问题转化为一个形式化表达的数学问题。
通常来说，经济复杂性待解决的问题，是在 C 个国家，P 种产品，每个国家出口的产品通过矩阵 Mcp 表示时，如何通过函数，计算出每个产品及每个国家的复杂性得分。即下式中的 f 和 g 函数。其中 Xc 是每个国家的经济复杂性，Yp 是每个产品的经济复杂性。其中产品的经济复杂性描述了不同产品在产品空间中的位置，例如光刻机比牛奶复杂，因此其 Yp 相对更高。最直接的描述经济复杂性的方法，是统计一国出口的的产品有多少种，或者该国出口产品的多样性。例如：产出种类多、多样性高，则经济复杂性高。这样的计算方法尽管简单，但反映了该国出口商品的基本情况。进一步的研究，试图引入更多的信息，通过整合不同产品之间的差异，来更全面地反映一国的经济复杂性。对该问题，已知的解法可分为两类。一类是回溯式的，称为反射法（Method of Reflections），简称 MR。该方法认为一国的经济复杂性，是其出口产品的经济复杂性的平均值。MR的计算方法简单，具有可解释性，这是其优点。然而一旦求了平均数，该指标就无法反映一国出口产品本身的多样性情况，同时也无法反映该国出口的产品，是不是独一无二不可取代的。另一类计算方法，称为适应度和复杂度算法（Fitness and Complexity algorithm），简称 FC。其基于的假设是：如果发达国家 A 从不发达国家 B 进口某种产品，说明该产品的复杂性较低，应该降低这种产品的复杂性得分。由此，通过非线性函数，能够根据出口矩阵算出每个产品的复杂性。而该国的经济复杂性，则是其出口产品复杂性之和。相比 MR，FC 更能够反映出一国出口产品的多样性情况。
图3：不同国家使用MR和FC计算得出的经济复杂性排名
上图展示了 MR 和 FC，对同一国家，会得出不同的经济复杂性得分，图中横轴代表 FC，纵轴代表 MR，每个点代表一个国家，点所在的位置是该指标在全球的排名。可以看出，对很多不处在 45°线附近的国家来说，两种指标的结果，有显著差异。为了解决方法差异的问题，2020这篇 Nature Communications 文章中，作者提出了计算的新方法。该文的创新之处，就在于提出了利用二分网络，能够调和 MR 和 FC 的计量方法。使新方法能够同时具有两种方法的优势（可解释性，以及能反映一国出口的多样性）。通过该方法计算的指标（The generalised economic complexity index），能够准确反映产品及国家的复杂性。所谓二分网络，是一种常用的网络结构，其特点是：该网络的节点分为两类，左边的节点只和右边的有连接。例如科学家和论文组成的网络，两者分别构成网络中的两类节点，一篇论文可以对应多个科学家，一个科学家对应多篇论文，但科学家之间以及论文之间，没有连接。
通过二分网络，能够将产品和生产它们的国家进行表示。先根据各国出口产品的矩阵，计算每两个国家之间出口产品相似度，得到国与国之间相似性的矩阵。通过对该矩阵，找出最大的两个特征值（λ1 和 λ2）及其对应的特征向量，最终用下式定义该国的经济复杂性：
GENEPYc 即经济复杂性，其中 λ1 和 λ2 为为各国出口产品相似度指标矩阵最大的特征值， Xc1和 Xc2 为该特征值对应的特征向量
对该公式的直观解释是，最初的数据是国家是否出口某种商品这样一个无向图。通过计算国家与国家之间，出口情况的相似度，将数据转化为了对称的加权有向图。两个国家间的距离越近，出口的商品组合越相似，由此从中提取了原数据的拓扑结构。从数学上看，由于经济复杂性计算用到的相似度矩阵是对称的，因此每个国家对应矩阵的最大特征值，等价于该国家特征向量中心度，由此，该指标计算得出的值是稳定且可解释的。通过相似矩阵，还可以解释国与国之间出口清单的间的相互关系。
根据上述方法，该文计算了各国于 1995-2017 年间的经济复杂性。
图5：基于 1995-2017 年的各国出口数据，计算出的各国经济复杂性示例图
上图展示了各国相似度矩阵的前两个特征向量（分别为横轴和纵轴），图中的曲线是类似等高线的圆弧，用该方法计算得出的经济复杂性最高的是日本，美国和中国分别为第五和第六位。基于同样的数据，该方法还能够针对不同类型的产品计算其经济复杂性指数，如上图所示，图中复杂性指数最高的是电子产品，其次是化工及塑料，而复杂性指数最低的则是动物皮毛等原材料类产品。根据经济学的复杂视角，经济增长的实质，是一国获得了生产越来越复杂高端产品的能力，由此使得其能够生产出产品复杂性更高的产品，并将其出口给更发达的国家，由此使出口的产品清单，变得越来越多样。因此，一国的出口越多样，其经济增长的势头也越强。
图7：1995-2017年间各国经济复杂性的变化情况
基于新提出的经济复杂性算法，使用 1995-2017 年各国出口产品情况的数据，可以得到上图，其中横轴和纵轴分别是国与国之间的最大的两个相似度矩阵对应的特征向量，不同颜色的线条代表了不同的国家。图中右下角的深绿色代表中国，可以看到其从 1995 年到 2017 年，有了显著的提升，右上角的是诸如日本德国瑞士这样的工业强国，而处在左下角的国家，则是经济复杂性始终较差的，例如委内瑞拉，尼日利亚。
该文中，最让人眼前一亮的，莫过于下图，其中蕴含的数据可视化，值得读者借鉴。
图8：将全球所有国家按照经济复杂性（黄色），GDP（蓝色）及人口指标（红色）加权，计算重心后，于1995-2017年间的“经济中心”变化轨迹，图中的每条线代表的不是某个国家，而是全球之和
基于和上文相同的数据集和计算方法，该文将各国的地理位置结合经济指标进行加权后，可以在地图中计算出一个类似于“经济重心”的地理位置，代表了全球的经济活动，聚集在那个地区周边。其中由于南亚，非洲的人口增长，全球人口的重心在向南移动。而对于经济来说，无论是用 GDP 还是经济复杂性衡量，全球经济的中心都在向东方移动，这意味着中国在全球经济活动中的重要性越来越高。
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